Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1计算可得a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，累乘可知a_n=n（n+1），验证n=1时即可；
（2）通过裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即可．

解答 解：（1）由题意得当n≥2时，S_n-1=$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n+2}{3}$a_n-$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
∴a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，
∴a₂=3a₁，
a₃=$\frac{4}{2}$a₂，
a₄=$\frac{5}{3}$a₃，
…
a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，
以上各式相乘得：a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$a₁=n（n+1），
当n=1时，a₁=2也适合上式，
∴a_n=n（n+1）（n∈N^*）；
（2）由（1）得a_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．