Question

11．定义在R上函数f（x）满足：f（x）=f（-x），f（2+x）=f（2-x），若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y-3=0，则y=f（x）在x=2015的切线方程为（　　）

• A． x+y-3=0
• B． x-y-2013=0
• C． x-y-2015=0
• D． x-y+2017=0

Answer 1

分析 由f（-x）=f（x），f（x+2）=f（2-x），可令x为x+2，可得f（x）为周期为4的函数，再由x=1处的切线方程为x+y-3=0，可得f（1），f（2015），再通过求导，可得导函数为奇函数且为周期函数，即可求得f′（2015），由点斜式方程，即可得到所求切线方程．

解答 解：由f（-x）=f（x），f（x+2）=f（2-x），
即有f（x+4）=f（2-（x+2））=f（-x）=f（x），
则f（x）为周期为4的函数，
若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y-3=0，
则f（1）=2，f′（1）=-1，
即有f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=f（1）=2，
对f（-x）=f（x），两边求导，可得-f′（-x）=f′（x），
由f（x+4）=f（x），可得f′（x+4）=f′（x），
即有f′（2015）=f′（3）=f′（-1）=1，
则该曲线在x=2015处的切线方程为y-2=x-2015，
即为x-y-2013=0．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性和周期性的运用，属于中档题．