Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow{b}$=（x，3），$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$；
（1）若$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，求x的值，并判断$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$同向还是反向；
（2）若向量$\overrightarrow{b}$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影为$\sqrt{2}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）先写出向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的坐标，根据平行向量的坐标关系即可建立关于x的方程，解出x，从而便得到$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的坐标，根据坐标即可判断$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的方向；
（2）根据投影的计算公式有$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}=\sqrt{2}$，进行数量积的坐标运算即可解出x．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}$=（1+2x，7），$\overrightarrow{n}=（2-x，-1）$；
∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$；
∴-（1+2x）-7（2-x）=0；
∴x=3，此时$\overrightarrow{m}=（7，7），\overrightarrow{n}=（-1，-1）$；
∴$\overrightarrow{m}=-7\overrightarrow{n}$；
∴$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$反向；
（2）向量$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为$|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{x+3}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$；
∴解得x=-1．

点评 考查向量坐标的加法、减法，及数乘运算，平行向量的坐标关系，数乘的几何意义，以及向量投影的计算公式，向量数量积的坐标运算．