Question

16．已知定义在R上的单调递增奇函数f（x），若当0≤θ≤$\frac{π}{2}$时，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据函数的单调性和奇偶性将不等式进行转化，分离参数，确定其范围，即可得到结论．

解答 解：∵当0≤θ≤$\frac{π}{2}$时，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，函数是奇函数，
∴当0≤θ≤$\frac{π}{2}$时，f（cosθ+msinθ）＜f（2m+2）恒成立，
∵函数是定义在R上的单调递增函数，
∴cosθ+msinθ＜2m+2，当0≤θ≤$\frac{π}{2}$时恒成立，
∴m＞$\frac{2-cosθ}{sinθ-2}$
令t=$\frac{cosθ-2}{sinθ-2}$，其几何意义是P（sinθ，cosθ）（0≤θ≤$\frac{π}{2}$）与C（2，2）连线的斜率，
P点的轨迹为半径为1的单位圆，如图：
∴$\frac{1}{2}$≤t≤2，
∴-2≤t≤$-\frac{1}{2}$
∴m＞$-\frac{1}{2}$．
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，+∞）

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．