Question

8．已知数列{a_n}是公比为d的等比数列，且a₁与a₂的算术平均数恰好是a₃；
（1）求d；
（2）设{b_n}是以2为首项，d为公差的递减等差数列，其前n项和为S_n，比较S_n与b_n的大小．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程关系即可求d；
（2）求出S_n与b_n的表达式，利用作差法进行比较即可．

解答 解：（1）∵a₁与a₂的算术平均数恰好是a₃；
∴a₁+a₁d=2a₁d²，
∵a₁≠0，
∴2d²-d-1=0，
解得d=1或d=-$\frac{1}{2}$．
（2）∵{b_n}是以2为首项，d为公差的递减等差数列，
∴d=-$\frac{1}{2}$，
则b_n=2+（n-1）（$-\frac{1}{2}$）=$-\frac{1}{2}n$+$\frac{5}{2}$．
前n项和为S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-\frac{1}{2}）$=$\frac{9n-{n}^{2}}{4}$，
S_n-b_n=$\frac{9n-{n}^{2}}{4}$-（$-\frac{1}{2}n$+$\frac{5}{2}$）=$\frac{-{n}^{2}+11n-10}{4}$=$-\frac{（n-1）（n-10）}{4}$，
故当n=1或n=10时，S_n=b_n，
当1＜n＜10时，S_n＞b_n，
当n＞10，且n∈N时，S_n＜b_n．

点评 本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查学生的运算能力．