Question

3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+acosB=2ccosC，c=$\sqrt{3}$；
（1）若A=$\frac{π}{4}$，求边b的长；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得sinC=2sinCcosC，结合范围C∈（0，π），可求C，B的值，利用正弦定理即可求得B的值．
（2）利用余弦定理及基本不等式的应用可得3=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（当且仅当a=b时取等号），利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）由题意可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，
又sinC≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$，
∴B=$π-A-C=\frac{5π}{12}$，
又c=$\sqrt{3}$，在△ABC中，∵$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，
∴b=$\frac{csinB}{sinC}=\frac{\sqrt{3}×sin\frac{5π}{12}}{sin\frac{π}{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$…6分
（2）在△ABC中，∵c²=a²+b²-2abcosC，且c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，
∴3=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（当且仅当a=b时取等号），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC=\frac{\sqrt{3}}{4}ab≤\frac{3\sqrt{3}}{4}$（当且仅当a=b时取等号），
即当△ABC为正三角形时，△ABC面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于基本知识的考查．