Question

3．（1）已知sinα-2cosα=0，求$\frac{sinα+cosα}{2sinα-cosα}$的值．
（2）若f（x）=3cosx-sin²x+1，若f（x）≥a-3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）已知等式整理，利用同角三角函数间基本关系化简求出tanα的值，原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值；
（2）由f（x）≥a-3恒成立，得到f（x）_min≥a-3，求出f（x）的最小值，即可确定出a的范围．

解答 解：∵sinα-2cosα=0，
∴tanα=2，
则原式=$\frac{tanα+1}{2tanα-1}$=$\frac{2+1}{4-1}$=1；
（2）由f（x）≥a-3恒成立，得到f（x）_min≥a-3，
f（x）=3cosx-sin²x+1=3cosx-1+cos²x+1=cos²x+3cosx=（cosx+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∵cosx∈[-1，1]，∴f（x）_min=-2，
∴a-3≤-2，
解得：a≤1．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及三角函数最值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．