Question

12．在△ABC中，内角A，B，C的对边三边分别为a，b，c，已知f（A）=4sinAsin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{A}{2}$）+cos2A，若满足|f（A）-m|＜2对任意三角形都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 化简f（A），由A的范围可得f（A）的范围，由恒成立可得m＜[f（x）+2]_min且m＞[f（x）-2]_max，可得答案．

解答 解：（1）化简可得f（A）=4sinA•$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+A）}{2}$+cos2A
=2sinA（1+sinA）+1-2sin²A
=2sinA+1，
∵x∈R，∴sinx∈[-1，1]，
∴f（x）的值域是[-1，3]；
（2）当A∈（0，π）时，sinA∈（0，1]，
∴f（x）∈（1，3]，
由|f（x）-m|＜2可得-2＜f（x）-m＜2，
∴f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立．
∴m＜[f（x）+2]_min=3，且m＞[f（x）-2]_max=1．
故m的取值范围是（1，3）．

点评 本题考查三角函数的恒等变形，涉及恒成立问题，属中档题．