Question

14．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n-n+2，n∈N^*．
（Ⅰ）证明数列{a_n-（n-1）}是等比数列并求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a_n+1=2a_n-n+2，变形为a_n+1-n=2[a_n-（n-1）]，利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）分组利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n+1=2a_n-n+2，
∴a_n+1-n=2[a_n-（n-1）]，
∴数列{a_n-（n-1）}是以a₁-1+1=1为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n-（n-1）=1×2^n-1，
∴a_n=2^n-1+（n-1）．
（Ⅱ）解：∵S_n=2⁰+（2¹+1）+（2²+2）+（2³+3）+…+（2^n-1+n-1）
=（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1）+（1+2+3+…+n-1）
=$\frac{1×（1-2n）}{1-2}+\frac{n（n-1）}{2}$
=2ⁿ-1+$\frac{n（n-1）}{2}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．