Question

6．已知函数f（x）=alnx+x²-1．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-（a+2）（x-1），若a=4时，方程g（x）=b（b∈R）恰有3个实数根，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（Ⅱ）求得g（x）的导数，求得g（x）的单调区间，得到极小值和极大值，由题意可得b介于极小值和极大值之间．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=alnx+x²-1的导数为
f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x，
曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为k=a+2，
切点为（1，0），
则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y-0=（a+2）（x-1），
即为（a+2）x-y-a-2=0：
（Ⅱ）g（x）=f（x）-（a+2）（x-1）=4lnx+x²-1-6（x-1），x＞0
g′（x）=$\frac{4}{x}$+2x-6=$\frac{2（{x}^{2}-3x+2）}{x}$=$\frac{2（x-1）（x-2）}{x}$，
令g′（x）=0，解得x=1或x=2，
当0＜x＜1，或x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当1＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=1处g（x）取得极大值，且为0，
x=2处g（x）取得极小值，且为4ln2-3，
方程g（x）=b（b∈R）恰有3个实数根，即为：
4ln2-3＜b＜0，
则b的取值范围是（4ln2-3，0）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，同时考查函数方程的思想，属于中档题．