Question

17．已知区域D由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\sqrt{2}}\\{y≤2}\\{x≤\sqrt{2}y}\end{array}\right.$给定，若点M（x，y）为D上的动点，点A（$\sqrt{2}$，1），则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$的最大值为4．

Answer 1

分析 首先画出可行域，z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$代入坐标变为z=$\sqrt{2}$x+y，即y=-$\sqrt{2}$x+z，z表示斜率为$-\sqrt{2}$的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=-$\sqrt{2}$x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值

解答 解：由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\sqrt{2}}\\{y≤2}\\{x≤\sqrt{2}y}\end{array}\right.$给定的区域D如图所示：
z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$=$\sqrt{2}$x+y，即y=-$\sqrt{2}$x+z
首先做出直线l₀：y=-$\sqrt{2}$x，将l₀平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．
因为B（ $\sqrt{2}$，2），故z的最大值为4；
故答案为：4．

点评 本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．