Question

12．已知对任意的m∈[$\frac{1}{2}$，3），不等式x²+mx+4＞2m+4x恒成立，则x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1]∪（2，+∞）
• B． （-∞，-3）
• C． （-∞，-1]∪[2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 问题转化为对任意的m∈[$\frac{1}{2}$，3），不等式（x-2）m+（x-2）²＞0恒成立，通过讨论x的范围，结合一次函数的性质，从而求出答案．

解答 解：对任意的m∈[$\frac{1}{2}$，3），不等式x²+mx+4＞2m+4x恒成立，
?对任意的m∈[$\frac{1}{2}$，3），不等式（x-2）m+（x-2）²＞0恒成立，
令f（m）=（-2）m+（x-2）²，则f（m）是关于m的一次函数，一次项系数k=（x-1），
①x-2=0，即x=2时，不成立，
②x-2＞0，即x＞2时，对任意的m∈[$\frac{1}{2}$，3），f（m）=（x-2）m+（x-2）²＞0恒成立，
③x-2＜0，即x＜2时，若对任意的m∈[$\frac{1}{2}$，3），f（m）=（x-2）m+（x-2）²＞0恒成立，
只需3（x-2）+（x-2）²≥0，解得：x≤-1，
综上：x＞2或x≤-1，
故选：A．

点评 本题考查了函数恒成立问题，一次函数的性质，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．