Question

【题目】已知函数.

（1）若关于的方程有两个不同的实数根，求证:；

（2）若存在使得成立，求实数的取值范围.（其中为自然对数的底数，）

Answer 1

【答案】(1)见解析； （2）.

【解析】

（１）设，将“方程有两个不同的实数根”转化为“函数和有两个不同的交点”，进而转化为求的最值问题，得出m的取值范围，问题即可解决。（2）首先“存在使得成立”的问题转化为“存在使得成立”，从而转化为求的最大值问题，利用导数研究其单调性并求其最值，即可解决问题。

（1）若方程有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根，

令，即函数和有两个不同的交点，

而，

令，解得:，令，解得，

故在上递减，在上递増，

故，故，

故.

（2）若存在使得成立，

即存在使得成立，

令，则，

易得，

令，解得:，令，解得，

故在递减，在递增，

故的最大值是或，

而，

故.