Question

【题目】如图1，四棱锥中，底面，面是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．

（1）证明：平面；

（2）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点，并求的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1），证得．又因为平面推出，

又，所以平面．

（2）点位于点处，此时；或中点处，此时.

【解析】

试题（1）【方法一】证明：由俯视图可得，，所以．

又因为平面，所以，

又，所以平面．

（1）【方法二】证明：因为平面，，建立如图所示

的空间直角坐标系． 在△中，易得，所以，

因为， 所以，．由俯视图和左视图可得：

．

所以，．

因为，所以．

又因为平面，所以，又

所以平面．

（2）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为．

证明如下：设，其中．

所以，．

要使与所成角的余弦值为，则有，

所以，解得或，均适合．

故点位于点处，此时；或中点处，此时，