Question

5．已知数列{a_n}，满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n，b_n=a_n+1-a_n，
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2=3a_n+1-2a_n，变形为：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），可得b_n+1=2b_n，b₁=a₂-a₁=2，即可证明．
（2）由（1）可得：b_n=a_n+1-a_n=2ⁿ．利用“累加求和”方法即可得出．

解答 （1）证明：由a_n+2=3a_n+1-2a_n，变形为：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
又b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=2b_n，b₁=a₂-a₁=2，
∴数列{b_n}是等比数列，首项与公比都为2．
（2）解：由（1）可得：b_n=a_n+1-a_n=2ⁿ．
∴a_n+1=（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2ⁿ+2^n-1+…+2+1
=$\frac{{2}^{n+1}-1}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-1．
∴a_n=2ⁿ-1，n=1时也成立．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．