Question

14．已知函数f（cosx）=-f′（$\frac{1}{2}$）cosx+$\sqrt{3}$sin²x，则f（$\frac{1}{2}$）的值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先利用换元法求出函数的解析式，再求导，代值计算即可．

解答 解：令t=cosx，t∈[-1，1]，
f（t）=-f′（$\frac{1}{2}$）t+$\sqrt{3}$（1-t²），
∴f′（t）=-f′（$\frac{1}{2}$）-2$\sqrt{3}$t，
令t=$\frac{1}{2}$，
则f′（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+$\sqrt{3}$（1-t²），
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$

点评 本题考查了函数解析式的求法和导数的运算法则，属于基础题．