Question

4．销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（万元）和Q（万元），它们与投入资金t（万元）的关系有经验公式P=3$\sqrt{t}$，Q=t．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（万元）．求：
（1）经营甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；
（2）怎样将资金分配给甲、乙两种商品，能使得总利润y达到最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）利润函数为y=甲商品所得的利润P+乙商品所得的利润$y=3\sqrt{x}+（3-x）$，其中定义域为x∈[0，3]；
（2）$y=3\sqrt{x}+（3-x）=-{（\sqrt{x}-\frac{3}{2}）^2}+\frac{3}{4}$．由二次函数的性质，得函数的最大值以及对应的x值．

解答 解：（1）根据题意，得$y=3\sqrt{x}+（3-x）$，x∈[0，3]．…（5分）
（2）$y=3\sqrt{x}+（3-x）=-{（\sqrt{x}-\frac{3}{2}）^2}+\frac{3}{4}$．
∵$\frac{3}{2}$∈[0，3]，∴当$\sqrt{x}$=$\frac{3}{2}$时，即x=$\frac{9}{4}$，3-x=$\frac{3}{4}$时，${y_{max}}=\frac{3}{4}$．
即给甲、乙两种商品分别投资$\frac{9}{4}$万元、$\frac{3}{4}$万元可使总利润达到最大值$\frac{3}{4}$万元．…（12分）

点评 本题考查了可化为二次函数模型的根式函数的应用，确定函数的解析式是关键，本题属于基础题．