Question

7．直角三角形ABC中，$∠C={90°}，BC=2，\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AB}$，其中1≤t≤3，则$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$的最大值是（　　）

• A． 3
• B． 12
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $8\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$=t${\overrightarrow{CB}}^{2}$+（t-1）•$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，根据两个向量垂直的性质以及t的范围，求得它的最大值．

解答 解：直角三角形ABC中，$∠C={90°}，BC=2，\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AB}$，其中1≤t≤3，
则$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$=-$\overrightarrow{CB}$•[-（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$）]=$\overrightarrow{CB}$•（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{CB}$•（t$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CA}$）=$\overrightarrow{CB}$•[t$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$）+$\overrightarrow{CA}$]=$\overrightarrow{CB}$•[t$\overrightarrow{CB}$+（t-1）•$\overrightarrow{CA}$]
=t${\overrightarrow{CB}}^{2}$+（t-1）•$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=t•4+0=4t≤12，
故当t=3时，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$取得最大值是12，
故选：B．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于中档题．