Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线y=x²的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（-4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；
（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求•的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出题意方程，利用离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线y=x²的焦点，建立方程组，即可求椭圆C的标准方程；
（II）设出直线PA方程，代入椭圆方程，设出直线BE方程，利用韦达定理，令y=0，即可证得结论；
（III）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可求•的取值范围．
解答：（I）解：设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），抛物线方程可化为，其焦点为（0，）
由题意，可得，∴
∴椭圆C的标准方程为；
（II）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4）
代入椭圆方程可得（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0①
设A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则B（x₁，-y₁），
直线BE的方程为
令y=0，可得
将y₁=k（x₁+4），y₂=k（x₂+4）代入上式，整理可得②
由①得x₁+x₂=-，
代入②整理可得x=-1
∴直线BE与x轴相交于定点M（-1，0）；
（III）解：当过点M的直线ST的斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂）在椭圆C上，
直线代入椭圆方程，可得（4m²+3）+8m²x+4m²-12=0
△=144（m²+1）＞0，x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴y₁y₂=m²（x₁+1）（x₂+1）=-
∴==--
∵m²≥0，∴∈[-4，-）
当过点M的直线ST的斜率不存在时，直线ST的方程为x=-1，S（-1，），T（-1，-）
∴=-
综上所述，•的取值范围为[-4，-]．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，考查向量的数量积公式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．