Question

11．如图1，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，沿EF将矩形BEFC折起，使∠CFD=90°，如图2所示；
（Ⅰ）若G，H分别是AE，CF的中点，求证：GH∥平面ABCD；
（Ⅱ）若AE=1，∠DCE=60°，求三棱锥C-DEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形中位线的性质证得PG∥CH，PG=CH，从而得到四边形CPGH为平行四边形，得到GH∥PC．然后利用线面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由已知解三角形得到CF⊥DF，进一步求得EF=1，然后直接代入棱锥的体积公式得答案．

解答 （Ⅰ）证明：取AB中点P，连结PG、PC，
∵G，H分别是AE，CF的中点，
∴CH∥BE，且CH=$\frac{1}{2}$BE，PG∥BE，且PG=$\frac{1}{2}$BE，
∴PG∥CH，PG=CH，
∴四边形CPGH为平行四边形，
∴GH∥PC．
又GH?平面ABCD，PC?平面ABCD，
∴GH∥平面ABCD；
（Ⅱ）解：∵∠CFD=60°，∴CF⊥DF，
∵CF⊥EF，EF∩DF=F，
∴CF⊥平面ADEF，
又AE=EB，
∴CE=DE=$\sqrt{1+E{F}^{2}}$，且CF=DE=1，
∵∠DCE=60°，∴△DCE为等边三角形，
而Rt△CDF中，CD=$\sqrt{2}$，∴$\sqrt{1+E{F}^{2}}=\sqrt{2}$，
∴EF=1，
∴${V}_{C-DEF}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}EF•DF•CF=\frac{1}{6}$．
故三棱锥C-DEF的体积为$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题．