Question

5．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为R的球面上，底面ABC是正三角形，△ABC的外接圆的半径为R，PA=PB=PC，若三棱锥P-ABC的体积是$\frac{\sqrt{3}}{4}$，则球的表面积为4π．

Answer 1

分析 利用三棱锥P-ABC的体积是$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求出球的半径，然后求出球的表面积．

解答 解：设三棱锥的底面边长为a，则$\frac{a}{sin60°}$=2R，即a=$\sqrt{3}R$，
∴三棱锥P-ABC的体积为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}R=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴R=1，
∴球O的表面积为4π•1=4π．
故答案为：4π．

点评 本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，求出球的半径是解题的关键．