Question

17．已知函数f（x）=e^ax-ax+e²-4，x∈[-2，2]（a≠0，e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）的最大值；
（3）如果对于一切x₁、x₂、x₃∈（-2，2），总存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求两次导数，得到f′（x）在（-2，2）上单调递增，即可得到函数的单调区间，
（2）由（1）可知，[f（x）]_max=max{f（-2），f（2）}，做差比较，即可得到f（x）的最大值，
（3）f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形的充要条件是2f（x）_min＞f（x）_max＞0，分别求出，构造函数即可得到参数的取值范围．

解答 解（1）：由f（x）=e^ax-ax+e²-4，得f′（x）=ae^ax-a．
∴f″（x）=a²e^ax＞0，
∴f′（x）在（-2，2）上单调递增，
∵f′（0）=0，
∴当x＜0时，f′（x）＜f′（0）=0，
当x＞0时，f′（x）＞f′（0）=0，
∴f（x）的减区间为[-2，0），增区间为（0，2]；
（2）由（1）可知，[f（x）]_max=max{f（-2），f（2）}，
∴f（2）-f（-2）=e^2a-2a+e²-4-（e^-2a+2a+e²-4）=e^2a-e^-2a-4a，
设g（a）=e^2a-e^-2a-4a，
则g′（a）=2（e^2a-e^-2a-2）≥2（2$\sqrt{{e}^{2a}•{e}^{-2a}}$-2）=0，
当且仅当a=0时取等号，
∴g（a）在R上单调递增，
∴当a＞0时，g（a）＞g（0）=0，则f（2）＞f（-2），
当a＜0时，g（a）＜g（0）=0，则f（2）＜f（-2），
综上f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{2a}-2a+{e}^{2}-4，a＞0}\\{{e}^{-2a}+2a+{e}^{2}-4，a＜0}\end{array}\right.$
（3）f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形的充要条件是2f（x）_min＞f（x）_max＞0，
由（1）可知，f（x）在[-2，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，
故f（x）在（-2，2）上存在唯一的极小值，即最小值，
∴当x=0时，f（x）_min=f（0）=1+e²-4=e²-3，
∴f（x）_min＞0，
当x∈[-2，2]时，[f（x）]_max=max{f（-2），f（2）}，
∴f（x）_max＞0，
从而当x∈[-2，2]时，f（x）＞0，
∴充要条件转化为$\left\{\begin{array}{l}{2f（0）≥f（2）}\\{2f（0）≥f（-2）}\end{array}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{2a}-2a≤{e}^{2}-2}\\{{e}^{-2a}+2a≤{e}^{2}-2}\end{array}\right.$
设h（t）=e^x-t-e²+2，t=2a，
∴h′（t）=e^t-1，
当t＜0时，h′（t）＜0，
当t＞0时，h′（t）＞0，
∴h（t）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
又h（2）=0，h（-2）=e^-2+4-e²＜0，
∴当a∈[-1，0）∪（0，1]时，
h（a）≤0，h（-a）≤0，满足题意，
当a＞1时，h（2a）＞h（2）=0，即e^2a-2a＞e²-2，不合题意，
当a＜-1时，h（-2a）＞0，即e^-2a+2a＞e²-2，不合题意，
综上所述a的取值范围为[-1，0）∪（0，1]

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，函数的最值，考查存在性问题的研究，正确求导是关键，属于难题．