Question

10．设点O在△ABC内部且满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，现将一粒豆子撒在△ABC中，则豆子落在△OBC内的概率是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据三角形重心的性质，易得是△ABC的重心，由重心的性质，可得O到BC的距离为A到BC距离的$\frac{1}{3}$，可得△OBC的面积为△ABC的面积$\frac{1}{3}$，利用几何概型的意义求两个三角形的面积比即可分析可得答案

解答 解：根据题意，满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，
则O是△ABC的重心，
由重心的性质，可得O到BC的距离为A到BC距离的$\frac{1}{3}$，
即△OBC的面积为△ABC的面积$\frac{1}{3}$，由几何概型公式可得豆子落在△OBC内的概率是$\frac{1}{3}$；
故答案为：$\frac{1}{3}$

点评 本题考查几何概型，将基本事件“几何化”，实际问题转化为数学问题，将随机事件的概率抽象为几何概型、向量关系式推出O的位置．