Question

2．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx图象在点（1，1）处的切线方程为l：2x-y-1=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一实数解，求m的值．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用（x）在点P（1，f（1））处的切线方程是y=2x-1，建立方程组，从而可求实数a，b的值；
（2）由方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一实数解，可得x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解．构造函数
g（x）=x²-2mlnx-2mx，利用g（x）=0有唯一解，再构造函数h（x）=2lnx+x-1，利用h（1）=0，可得方程的解，从而可求实数m的值．

解答 解：（1）当x=1时，f（1）=-$\frac{1}{2}$a-b=1．
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-b，即f′（1）=1-a-b=2，
∴a=0，b=-1．
则f（x）=lnx+x；
（2）∵方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一实数解，
∴x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解．
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，则g′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2mx-2m}{x}$．
令g′（x）=0，则2x²-2mx-2m=0．
∵m＞0，∴△=4m²+16m＞0，方程有两异号根，设为x₁＜0，x₂＞0，
∵x＞0，∴x₁应舍去．
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减；
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增．
当x=x₂时，g′（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0．
则$\left\{\begin{array}{l}{g（{x}_{2}）=0}\\{{g}^{′}（{x}_{2}）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{2}}^{2}-2mln{x}_{2}-2m{x}_{2}=0}\\{2{{x}_{2}}^{2}-2m{x}_{2}-2m=0}\end{array}\right.$．
∵m＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0．①
设函数h（x）=2lnx+x-1．
∵当x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程①的解为x₂=1．
代入方程组解得m=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查方程组的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．