Question

7．如图所示，已知A₁B₁C₁-ABC是正棱柱，D是AC的中点，AB₁⊥BC₁，求二面角D-BC₁-C的度数．

Answer 1

分析 作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥面B₁BCC₁，连接EF，则EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影，根据二面角的平面角的定义可知∠DEF是二面角D-BC₁-C的平面角，然后在三角形DEF中求出∠DEF即可．

解答 解：作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥面B₁BCC₁，
连接EF，则EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影．
∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，∴四边形B₁BCC₁是矩形．
连接B₁C交BC₁于E，则B₁E=EC．连接DE．
在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁．
又∵AB₁⊥BC₁，∴DE⊥BC₁，
∴BC₁⊥EF，∴∠DEF是二面角D-BC₁-C的平面角．
设AC=1，则DC=$\frac{1}{2}$．
∵△ABC是正三角形，
∴在Rt△DCF中，
DF=DC•sinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，CF=DC•cosC=$\frac{1}{4}$．
取BC中点G．
∵EB=EC，∴EG⊥BC．
在Rt△BEF中，EF²=BF•GF，
又BF=BC-FC=$\frac{3}{4}$，GF=$\frac{1}{4}$，
∴EF²=$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{4}$，即EF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴tan∠DEF=$\frac{DF}{EF}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}}$=1．
∴∠DEF=45°．
故二面角D-BC₁-C的度数为45°．

点评 本题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．