Question

12．已知数列{a_n}中，a₁=2，对于任意的p、q∈N^*，都有a_p+q=a_p+a_q．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=lna_n（n∈N^*），是否存在k（k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k的值，若不存在，请说明理由；
（3）令c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，S_n为数列{c_n}的前n项和，若对任意的n∈N^*，不等式tS_n＜n+9×（-1）ⁿ恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令p=1，q=n，由等差数列的通项公式即可得到；
（2）假设存在k（k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列，由等比数列的性质和基本不等式，放缩，病结合对数的运算性质，即可说明不存在；
（3）利用裂项相消法可求得S_n；分n为偶数，n为奇数两种情况进行讨论：分别分离出参数λ后，转化为最值问题解决，分别利用基本不等式、单调性可求得最值；

解答 解：（1）可令p=1，q=n，则a_n+1=a₁+a_n，
即为a_n+1=2+a_n，
即有数列{a_n}是2为首项，2为公差的等差数列，
则a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列，
则b_kb_k+2=b_k+1²．
因为b_n=lna_n=ln（2n）（n≥2），
所以b_k•b_k+2=ln（2k）ln（2k+4）＜[$\frac{ln（2k）+ln（2k+4）}{2}$]²＜[$\frac{ln（2k+2）^{2}}{2}$]²=ln（2k+2）．
这与b_kb_k+2=b_k+1²矛盾．
故不存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列．
（3）c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
S_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$，
当n为偶数时，不等式tS_n＜n+9×（-1）ⁿ即为t＜$\frac{4（n+1）（n+9）}{n}$=4（n+$\frac{9}{n}$+10），
由n+$\frac{9}{n}$≥2$\sqrt{n•\frac{9}{n}}$=6，当n=3时，取得最小值，但n为偶数，n=2时，2+$\frac{9}{2}$=$\frac{13}{2}$，
n=4时，4+$\frac{9}{4}$=$\frac{25}{4}$，由$\frac{25}{4}$＜$\frac{13}{2}$，
即有t＜4（$\frac{25}{4}$+10）=65；
当n为奇数时，不等式tS_n＜n+9×（-1）ⁿ即为t＜$\frac{4（n+1）（n-9）}{n}$=4（n-$\frac{9}{n}$-8），
由n-$\frac{9}{n}$在n为正整数上递增，即有n=1时，取得最小值．
即有t＜4×（1-9-8）=-64．
则对任意的n∈N^*，不等式tS_n＜n+9×（-1）ⁿ恒成立，
实数t的取值范围为（-∞，-64）．

点评 本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和，恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．