Question

16．已知方程x²-（tanα+$\frac{1}{tanα}$）x+1=0的一个根是2+$\sqrt{3}$，则sin2α=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设此方程的另一个根为m，则（2+$\sqrt{3}$）m=1，解得m=2-$\sqrt{3}$．利用根与系数的关系可得tanα+$\frac{1}{tanα}$=4，利用同角三角函数基本关系式即可得出．

解答 解：设此方程的另一个根为m，则（2+$\sqrt{3}$）m=1，解得m=2-$\sqrt{3}$．
∴（2+$\sqrt{3}$）+（2-$\sqrt{3}$）=tanα+cotα，
∴tanα+$\frac{1}{tanα}$=4，
∴$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}$=4，
∴sinαcosα=$\frac{1}{4}$，sin2α=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．