Question

已知函数f（x）=2sinxcosx-2xos²x+1
（1）求f（x）的对称中心；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）若f（θ）=

3

5

，求cos2（

π

4

-2θ）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用倍角公式可得：函数f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，令2x-

π

4

=kπ（k∈Z），解得即可．
（2）由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得

3π

8

+kπ≤x≤kπ+

7π

8

，k∈Z．即可得出函数f（x）的单调递减区间；
（3）由f（θ）=

3

5

，可得

2

sin(2x-

π

4

)=

3

5

，即sin(2θ-

π

4

)=

3 2

10

．利用倍角公式可得cos2（

π

4

-2θ）=1-2sin2(2θ-

π

4

)，即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=2sinxcosx-2xos²x+1=sin2x-cos2x
=

2

sin(2x-

π

4

)，
令2x-

π

4

=kπ（k∈Z），解得x=

4kπ+π

8

．
∴f（x）的对称中心为(

4kπ+π

8

，0)（k∈Z）；
（2）由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得

3π

8

+kπ≤x≤kπ+

7π

8

，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递减区间为[

3π

8

+kπ，kπ+

7π

8

]（k∈Z）；
（3）∵f（θ）=

3

5

，∴

2

sin(2x-

π

4

)=

3

5

，
∴sin(2θ-

π

4

)=

3 2

10

．
∴cos2（

π

4

-2θ）=1-2sin2(2θ-

π

4

)
=1-2×(

3 2

10

)2
=

16

25

．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．