Question

已知f（x）=logax，其反函数为g（x）．
（1）解关于x的方程f（x-1）=f（a-x）-f（5-x）；
（2）设F（x）=（2m-1）g（x）+（

1

m

-

1

2

）g（-x），若F（x）有最小值，试求其表达式h（m）；
（3）求h（m）的最大值．

Answer 1

考点：反函数,指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数式子得出∴

x-1= a-x 5-x x-1＞0 5-x＞0 a-x＞0

，
（2）得出h（m）=2

(2m-1)( 1 m - 1 2 )

，

1

2

＜m＜2，运用基本不等式求解即可，
（3）化简得出h（m）=2

(2m-1)( 1 m - 1 2 )

=2

5 2 -(m+ 1 m )

，

1

2

＜m＜2
利用m+

1

m

≥2（m=1时等号成立）即可得出答案．

解答： 解；f（x）=log_ax，其反函数为g（x）=a^x，
（1）∵f（x-1）=f（a-x）-f（5-x）；
∴log_a（x-1）=log_a（a-x）-log_a（5-x），
∴

x-1= a-x 5-x x-1＞0 5-x＞0 a-x＞0

，
∵x²-7x+5+a=0，
∴x=

7± 29-4a

2

，
∵x＞1，x＜5，x＜a，
∴x=

7± 29-4a

2

，
（2）∵设F（x）=（2m-1）g（x）+（

1

m

-

1

2

）g（-x），
∴设F（x）=（2m-1）a^x+（

1

m

-

1

2

）a^-x，
设F（x）=（2m-1）g（x）+（

1

m

-

1

2

）g（-x），
∴h（m）=2

(2m-1)( 1 m - 1 2 )

，

1

2

＜m＜2，
（3）h（m）=2

(2m-1)( 1 m - 1 2 )

=2

5 2 -(m+ 1 m )

，

1

2

＜m＜2，
∵m+

1

m

≥2（m=1时等号成立）
∴

5

2

-（m+

1

m

）≤

5

2

-2=

1

2

，
∴h（m）的最大值为2

1 2

=

2

．

点评：本题考综合考查了函数的性质，运算，结合基本不等式求解，属于中档题，关键是运算化简，考查了计算能力．