Question

已知三角函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b同时满足以下三个条件：
①定义域为R；
②对任意实数x都有f（x）≤f（3）；
③f（x+2）=

1

2

+

f(x)-f2(x)

，
则f（x）的单调区间为（　　）

• A、[4k-1，4k+3]，k∈Z
• B、[4k+1，4k+3]，k∈Z
• C、[8k-2，8k+2]，k∈Z
• D、[8k+2，8k+6]，k∈Z

Answer 1

考点：正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：依题意，知f（x）_max=f（3）与f（1+2）=

1

2

+

f(1)-f2(1)

取得最大值，可知在X=3时，f（3）取到最大值，在X=1时，取得最小值，故其周期为4，从而可得答案．

解答： 解：∵对任意实数x都有f（x）≤f（3），
∴f（x）_max=f（3）；
又f（x+2）=

1

2

+

f(x)-f2(x)

，
由f（x）-f²（x）≥0得：0≤f（x）≤1，即f（x）_max=1=f（3），f（x）_min=0，
又当x=1时，f（3）=f（1+2）=

1

2

+

f(1)-f2(1)

=1，即

1

2

+

-[f(1)- 1 2 ]2+ 1 4

=1，
解得：f（1）=

1

2

；
又f（3+2）=

1

2

+

f(3)-f2(3)

，即f（5）=

1

2

+0=

1

2

，即f（1+4）=f（1），同理可得f（7）=f（3）=1，
由正弦函数的性质可知，其周期为4，
∴f（x）的单调区间为[4k+1，4k+3]，k∈Z．
故选：B．

点评：本题考查正弦函数的单调性，对关系式f（x+2）=

1

2

+

f(x)-f2(x)

的理解与应用是难点，分析得到其周期为4是关键，属于难题．