Question

若实数a，b，c满足a²+b²+c²=1，则3ab-3bc+2c²的最大值为

 

．

Answer 1

考点：柯西不等式在函数极值中的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：不妨考虑c，当c=0时，运用重要不等式a²+b²≥2ab，求得最大值；再由当c≠0时，3ab-3bc+2c²=

3ab-3bc+2c2

a2+b2+c2

，
分子分母同除以c²，设x=

a

c

，y=

b

c

，再整理成二次方程，由于x为实数，运用判别式大于等于0，再由y为实数，判别式小于等于0，即可解得所求的范围，进而得到最大值．

解答： 解：不妨考虑c，当c=0时，有3ab-3bc+2c²=3ab≤

3(a2+b2)

2

=

3

2

，
当c≠0时，3ab-3bc+2c²=

3ab-3bc+2c2

a2+b2+c2

=

3• a c • b c -3• b c +2

( a c )2+( b c )2+1

，
设x=

a

c

，y=

b

c

，则可令M=3ab-3bc+2c²=

3xy-3y+2

x2+y2+1

，
即有Mx²-3xy+My²+M+3y-2=0，
由于x为实数，则有判别式△₁=9y²-4M（My²+M+3y-2）≥0，
即有（9-4M²）y²-12My-4M（M-2）≥0，
由于y为实数，则△₂=144M²+16M（9-4M²）（M-2）≤0，
即有M（M-3）（2M²+2M-3）≤0，
由于求M的最大值，则M＞0，则M≤3．
故答案为：3．

点评：本题考查重要不等式的运用：求最值，考查换元法转化为二次函数和二次方程有实根的条件，考查不等式的解法，属于压轴题和易错题．