Question

已知向量

a

=（x，y），

b

=（x-2，1），设集合P={x|

a

⊥

b

}，Q={x||

b

|＜

5

}，当x∈P∩Q时，y的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：由两向量垂直时满足的条件列出关系式，确定出P中x的范围，求出P，根据向量模的定义求出Q中x的范围确定出Q，求出P与Q的交集，确定出y的范围即可．

解答： 解：∵向量

a

=（x，y），

b

=（x-2，1），

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=x（x-2）+y=0，即x²-2x=-y，
配方得：（x-1）²=1-y，即y=1-（x-1）²，
可得x∈R，
由Q中不等式变形得：

(x-2)2+1

＜

5

，即（x-2）²+1＜5，
解得：-2＜x-2＜2，即0＜x＜4，
∴Q=（0，4），
∴P∩Q=（0，4），
则y的范围为（-8，1]．
故答案为：（-8，1]

点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．