Question

在抛物线y=x²上关于直线y=x+3对称两点M，N的坐标分别为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂的值，进而可求AB中M的坐标，代入直线中y=x+3求得b，再求出两点M，N的坐标．

解答： 解：由题意设直线MN的方程为y=-x+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=-x+b y=x2

得，x²+x-b=0，①
所以x₁+x₂=-1，则

x1+x2

2

=-

1

2

，代入y=-x+b=

1

2

+b，
则MN的中点为（-

1

2

，

1

2

+b），代入y=x+3，解得b=2，
则①为：x²+x-2=0，解得x₁=-2，x₂=1，
代入y=x²得，y₁=4，y₂=1，
所以M（-2，4）、N（1，1），
故答案为：（-2，4）、（1，1）．

点评：本题主要考查直线和抛物线的位置关系问题，解决该题的关键是充分利用对称条件，属中档题．