Question

已知函数函数f（x）=x+

1

x

（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数．
（3）若f（a）＞2，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数．
（3）若f（a）＞2，解不等式即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}，
f（-x）=-x+x-1=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数  （ （4分） ）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），不妨设x₁＜x₂，则有
f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂
+（

1

x2

-

1

x1

）=（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

）=

(x1-x2)(x1x2+1)

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂+1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．（10分）
（3）若f（a）＞2即a+

1

a

＞2，显然a＞0，
原式可化为：a²-2a+1=（a-1）2＞0解得a＞0且a≠1，

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．