Question

已知实数x、y满足方程x²+y²-4x+1=0．
（1）求y-x的最大值和最小值；
（2）求x²+y²的最最大值和最小值．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：（1）设z=y-x，当点（x，y）在圆（x-2）²+y²=1上，则此直线与圆相切时，z取最值，根据圆心到直线的距离等于半径，求得z的值，即为所求．
（2）根据x²+y²表示点P（x，y）与点O（0，0）间的距离的平方，求出|CO|，再把|CO|加减半径后平方，即得所求．

解答： 解：（1）方程x²+y²-4x+1=0 即方程（x-2）²+y² =3，表示以C（2，0）为圆心、半径等于

3

 的圆．
设z=y-x，当点（x，y）在圆（x-2）²+y²=1上，
使直线z=y-x在y轴上截距最大时，z取得最大值；
使直线z=y-x在y轴上截距最小时，z取得最小值．
则当直线x-y+z=0与圆相切时，z取最值，∵圆心C（2，0），半径r=

3

，
故当z取得最值时，有

|2-0+z|

2

=

3

，解得z=±

6

-2，故z=y-x的最大值为

6

-2，z=y-x的最小值为-2-

6

．
（2）∵x²+y²表示点P（x，y）与点O（0，0）间的距离的平方．
∵CO=2，x²+y²的最小值为(CO-

3

)2=(2-

3

)2=7-4

3

，最大值为(CO+

3

)2=(2+

3

)2=7+4

3

．

点评：题主要考查点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，两点间的距离公式的应用，属于中档题．