Question

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线分别交抛物线的准线l、y轴、抛物线于A、B、C三点，若

AB

=3

BC

，则直线AF的斜率是（　　）

• A、-

  3

• B、-

  3

  3

• C、-

  2

  2

• D、-1

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设C（x₁，y₁），直线AF与抛物线的另一个交点为（x₂，y₂）．设直线AF的方程：y=k(x-

p

2

)，与抛物线方程联立可得：k²x²-(pk2+2p)x+

k2

4

p2=0，利用根与系数的关系及

AB

=3

BC

，x_A=-

P

2

，x_B=0，即可解出．

解答： 解：设C（x₁，y₁），直线AF与抛物线的另一个交点为（x₂，y₂）．
设直线AF的方程：y=k(x-

p

2

)，
联立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，化为：k²x²-(pk2+2p)x+

k2

4

p2=0，
则x₁+x₂=

pk2+2p

k2

，x₁x₂=

p2

4

．
∵

AB

=3

BC

，x_A=-

P

2

，x_B=0，
∴0+

p

2

=3x₁，
∴x₁=

p

6

．
∴x₂=p+

2p

k2

-

p

6

=

5p

6

+

2p

k2

．
∴

p

6

×(

5p

6

+

2p

k2

)=

p2

4

，
化为k²=3，
由图可知：k＜0，
∴k=-

3

．
故选：A．

点评：本题考查了直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．