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已知函数f(x)=
3xa
-2x2+Inx
,其中a为常数,e为自然对数的底数.
(I)若a=1,求函数f(x)的单调区间;
(II)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.
分析:(I)由a=1得f(x)的解析式,求导,令f′(x)>0,令f′(x)<0分别得出x的取值范围,即f(x)的单调区间;
(II)由函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,得f′(x)≥0或f′(x)≤0,分离出a,把右边看为函数,得到函数的单调性得最值,得关于a的不等式,求解得a的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)若a=1时,f(x)=3x-2x2+lnx,定义域为(0,+∞)
f′(x)=
1
x
-4x+3=
-4x2+3x+1
x
=
-(4x+1)(x-1)
x
(x>0)(3分)
令f'(x)>0,得x∈(0,1),令f'(x)<0,得x∈(1,+∞),
函数f(x)=3x-2x2+lnx单调增区间为(0,1),
函数f(x)=3x-2x2+lnx单调减区间为(1,+∞).(6分)
(Ⅱ).f′(x)=
3
a
-4x+
1
x

若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,
f′(x)=
3
a
-4x+
1
x
在[1,2]
f′(x)=
3
a
-4x+
1
x
≥0
f′(x)=
3
a
-4x+
1
x
≤0
恒成立.
f′(x)=
3
a
-4x+
1
x
≥0
f′(x)=
3
a
-4x+
1
x
≤0
(8分)
3
a
-4x+
1
x
≥0
3
a
-4x+
1
x
≤0
在[1,2]恒成立.
3
a
≥4x-
1
x
3
a
≤4x-
1
x

h(x)=4x-
1
x
,因函数h(x)在[1,2]上单调递增.
所以
3
a
≥h(2)
3
a
≤h(1)
3
a
15
2
3
a
≤3
,解得a<0或0<a≤
2
5
或a≥1(12分)
点评:本题考查了利用导数求函数的单调性,和其逆问题,由单调性来确定导数非负或非正,分离参数,利用函数的思想,求最值,得关于a的不等式.
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+
1
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x
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