Question

【题目】生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需要另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）= +20x（万元），当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+ ﹣1450（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式（利润=销售额﹣成本）；
（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，

依题意得，当0≤x＜80时， = ，

当x≥80时， =

（2）解：当0≤x＜80时， ．

，x=±60．

此时，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950（万元）

当x≥80时， ，

当且仅当 ，即x=100时，L（x）取得最大值1000（万元）．

因为950＜1000，所以当年产量为100千件时，生产该商品获利润最大．

答：当年产量为100 千件时，生产该商品获利润最大

【解析】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，推出当0≤x＜80时，当x≥80时，的函数的解析式即可．（2）当0≤x＜80时，利用函数的导数求解函数的最值，当x≥80时，利用基本不等式求解函数的最值，推出结果．