Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设Tn= ，求证：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．

令n=1时，2S1=3a1﹣1，解得：a1=1

（2）解：由于：2Sn=（n+2）an﹣1①

所以：2Sn+1=（n+3）an+1﹣1②

②﹣①得：2an+1=（n+3）an+1﹣（n+2）an，

整理得： ，则 ，即 ．

∵ ，

∴ ，…， ，

利用叠乘法把上面的（n﹣1）个式子相乘得： = ，

∴ ，当n=1时，a1=1符合上式，

∴数列的通项公式是

（3）证明：∵ ，∴ ，

∴ =2（ ），

∴Tn=

=2（ …+ ）

=2（ ）＜2（ ）= ．

故Tn＜

【解析】（1）令n=1，能求出a1．（2）由2Sn=（n+2）an﹣1，得2Sn+1=（n+3）an+1﹣1，从而得到 ，利用利用叠乘法得： = ，由此能求出数列的通项公式．（3）推导出 =2（ ），由此利用裂项求和法能证明Tn＜ ．