Question

【题目】函数f（x）=﹣4x3+kx，对任意的x∈[﹣1，1]，总有f（x）≤1，则实数k的取值为 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：由题意得：kx≤4x3+1在[﹣1，1]恒成立，

x=0时，显然成立，

x∈（0，1]时，问题转化为k≤4x2+ 在（0，1]恒成立，

令g（x）=4x2+ ，x∈（0，1]，

g′（x）= ，

令g′（x）＞0，解得：x＞ ，

令g′（x）＜0，解得：x＜ ，

故g（x）在（0， ）递减，在（ ，1]递增，

故g（x）min=g（ ）=3，

故k≤3，

x∈[﹣1，0）时，问题转化为k≥4x2+ 在[﹣1，0）恒成立，

令h（x）=4x2+ ，x∈[﹣1，0），

g′（x）= ＜0，

故g（x）在[﹣1，0）递减，

故g（x）max=g（﹣1）=3，

故k≥3，综上k=3，

所以答案是：3．

【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．