Question

【题目】已知函数g（x）= ，f（x）=g（x）﹣ax．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），

且f（x）= ﹣ax（a＞0），定义域为（0，1）∪（1，+∞），

函数g′（x）= ，

当g′（x）＞0时，x＞e，当g′（x）＜0时，0＜x＜1，1＜x＜e，

∴g（x）在（0，1），（1，e）递减，在（e，+∞）递增

（2）解：∵f（x）在（1，+∞）递减，

∴f′（x）= ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，

∴x∈（1，+∞）时，f′（x）max≤0，

∵f′（x）=﹣ + ﹣a，

∴当 = ，即x=e2时，f′（x）max= ﹣a，

∴ ﹣a≤0，于是a≥ ，

故a的最小值为

【解析】（1）由函数g′（x）= ，得当g′（x）＞0时，x＞e，当g′（x）＜0时，0＜x＜1，1＜x＜e，从而g（x）在（0，1），（1，e）递减，在（e，+∞）递增，（2）由f′（x）= ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，得x∈（1，+∞）时，f′（x）max≤0，从而f′（x）=﹣ + ﹣a，故当 = ，即x=e2时，f′（x）max= ﹣a，得 ﹣a≤0，于是a≥ ，故a的最小值为 ．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的性质和利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．