Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF₁交椭圆C于另一点Q．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点P的坐标为(0，b)，求过P，Q，F₂三点的圆的方程；

（3）．

Answer 1

（1）解：由题意得 解得c＝1，a²＝2，所以b²＝a²－c²＝1．

    所以椭圆的方程为＋y²＝1．                     

   （2）因为P(0，1)，F₁(－1，0)，所以PF₁的方程为x－y＋1＝0．

所以点Q的坐标为(－，－)．

解法一：因为k_PF·k_PF＝－1，所以△PQF₂为直角三角形．               

因为QF₂的中点为(－，－)，QF₂＝，

所以圆的方程为(x＋)²＋(y＋)²＝．                            

解法二：设过P，Q，F₂三点的圆为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，

所以圆的方程为x²＋y²＋x＋y－＝0．                  

 

所以·＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₂(－1－λ－λx₂)－λy＝－x₂²－(1＋λ)x₂－λ

   

因为λ∈[，2]，所以＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．

所以·≤，即·最大值为．             

解法二：当PQ斜率不存在时，

     在＋y²＝1中，令x＝－1得y＝±．

     所以，此时  

     当PQ斜率存在时，设为k，则PQ的方程是y＝k(x＋1)，

     由得(1＋2k²)x²＋4k²x＋2k²－2＝0，

    韦达定理     

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂) ，

    则

    的最大值为，此时