Question

（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，平面，为的中点，.

（1）求证：∥平面；

（2）求四面体的体积.

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）证明直线与平面平行，一般采用以下两种方法：法一，通过面面平行来证明线面平行；法二，根据直线与平面平行的判定定理，证明直线与平面内的一条直线平行即可.在本题中，取AD中点M，易证得平面平面，从而得平面；若用法二，可延长DC，AB，交于N点，连接PN.可证得EC为的中位线，从而EC//PN；（2）首先考虑以哪一个面作为底面.由已知条件易得平面，故应以PAC作为底面，E作为顶点.因为E是PD的中点，所以点E到平面PAC的距离等于点C到平面PAC的距离的一半.而，这样由三棱锥的体积公式便可求得体积.

试题解析：（1）法一： 取AD得中点M，连接EM，CM.则EM//PA

因为平面，平面

所以，平面， （2分）

在中，

所以，

而，所以，MC//AB． （3分）

因为平面，平面

所以，平面 （4分）

又因为

所以，平面平面

因为平面，所以平面 （6分）

法二： 延长DC，AB，交于N点，连接PN.

因为

所以，C为ND的中点． （3分）

因为E为PD的中点，所以，EC//PN

因为平面，平面，

所以平面 （6分）

2）法一：由已知条件有；AC=2AB=2，AD=2AC=4，CD= （7分）

因为， 平面，所以， （8分）

又因为，所以，平面 （10分）

因为E是PD的中点，所以点E平面PAC的距离，

所以，四面体PACE的体积 （12分）

法二：由已知条件有；AC=2AB=2，AD=2AC=4，CD=

因为，平面，所以， （10分）

因为E是PD的中点，所以，四面体PACE的体积 （12分）

考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、三棱锥的体积.