Question

11．把直线l：x+$\sqrt{3}$y=0绕原点按顺时针方向旋转30°，得到直线m，则直线m与圆x²+y²-4x+1=0的位置关系是（　　）

• A． 直线与圆相切
• B． 直线与圆相交但不过圆心
• C． 直线与圆相离
• D． 直线过圆心

Answer 1

分析 根据题意求出已知直线的斜率，从而得到它的倾斜角，由此得到直线按题中的方法旋转所得直线的斜率，进而得到旋转所得的直线方程．求出已知圆的圆心与半径，算出圆心到旋转所得直线的距离，将这个距离与圆的半径比较大小，即可得到答案．

解答 解：∵直线x+$\sqrt{3}$y=0化成斜截式，得y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴直线x+$\sqrt{3}$y=0的斜率k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得直线的倾斜角150°，
因此，将直线绕原点按顺时针方向旋转30°后，得到的直线倾斜角为150°-30°=120°，
∴旋转后的直线斜率为k'=tan120°=-$\sqrt{3}$，
可得旋转后所得的直线方程为：y=-$\sqrt{3}$x，即$\sqrt{3}$x+y=0，
圆x²+y²-4x+1=0化成标准方程，得（x-2）²+y²=3，
∴圆心为（2，0），半径r=$\sqrt{3}$．
求得圆心到所得直线的距离d=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，恰好与半径相等．
∴旋转后所得的直线与圆的位置关系是相切．
故选：A．

点评 本题将直线绕原点旋转，求旋转所得的直线与圆的位置关系．着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．