Question

1．已知各项均为正数的等比数列{a_n}，其公比q＞1，且满足a₂a₄=64，a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设A_n=a_n+1-2，B_n=log${\;}_{2}^{2}$a_n+1，试比较A_n与B_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的性质，可得a₃=8；
（2）运用等差数列的性质，结合等比数列的通项，可得q的方程，求得q，即可得到所求通项公式；
（3）化简A_n，B_n．列取n=1，2，3，4，得到大小关系，推测当1≤n≤3时，A_n＜B_n；当n≥4时，A_n＞B_n．再由数学归纳法，即可得证．

解答 解：（1）a₂a₄=64，则a₃²=64，即有a₃=8，（负数舍去）；
 （2）a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，即20=$\frac{8}{q}$+8q，
解得q=2或$q=\frac{1}{2}$（舍去），
∴$数列\{{a_n}\}的通项公式为{a_n}={a_3}{q^{n-3}}=8•{2^{n-3}}={2^n}$．
（3）由（2）得 ${A_n}={2^{n+1}}-2$，${B_n}=log_2^2{2^{n+1}}={（n+1）^2}$，
当n=1时，A₁=2，B₁=（1+1）²=4，A₁＜B₁；
当n=2时，A₂=6，B₂=（2+1）²=9，A₂＜B₂；
当n=3时，A₃=14，B₃=（3+1）²=16，A₃＜B₃；
当n=4时，A₄=30，B₄=（4+1）²=25，A₄＞B₄；
当n=5时，A₅=62，B₅=（5+1）²=36，A₅＞B₅；
由上可猜想，当1≤n≤3时，A_n＜B_n；当n≥4时，A_n＞B_n．
下面用数学归纳法给出证明：
①当n=4时，已验证不等式成立．
②假设n=k（k≥4）时，A_k＞B_k．成立，即2^k+1-2＞（k+1）²，
当n=k+1时，A_k+1=2^k+2-2=2•（2^k+1-2）+2＞2•（k+1）²+2
=2k²+4k+4＞k²+4k+4=[（k+1）+1]²=B_k+1，
即当n=k+1时不等式也成立，
由①②知，当n≥4（n∈N^*）A_n＞B_n；
综上，当1≤n≤3时，A_n＜B_n；当n≥4时，A_n＞B_n．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式，同时考查数学归纳法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．