Question

9．已知$\frac{π}{4}＜α＜\frac{3π}{4}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$，且cos（$\frac{π}{4}-α$）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}+β$）=$\frac{5}{13}$，求cos2（α+β）

Answer 1

分析 由角的范围和同角三角函数基本关系可得sin（$\frac{π}{4}-α$）和cos（$\frac{π}{4}+β$），进而由两角差的余弦公式可得cos（α+β），再由二倍角的余弦公式可得．

解答 解：∵$\frac{π}{4}＜α＜\frac{3π}{4}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$，
∴-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{4}-α$＜0，$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$+β＜$\frac{π}{2}$，
又∵cos（$\frac{π}{4}-α$）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}+β$）=$\frac{5}{13}$，
∴sin（$\frac{π}{4}-α$）=-$\frac{4}{5}$，cos（$\frac{π}{4}+β$）=$\frac{12}{13}$，
∴cos（α+β）=cos[（$\frac{π}{4}+β$）-（$\frac{π}{4}-α$）]
=cos（$\frac{π}{4}+β$）cos（$\frac{π}{4}-α$）+sin（$\frac{π}{4}+β$）sin（$\frac{π}{4}-α$）
=$\frac{12}{13}×\frac{3}{5}+\frac{5}{13}×（-\frac{4}{5}）$=$\frac{16}{65}$
∴cos2（α+β）=2cos²（α+β）-1=-$\frac{3713}{4225}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和同角三角函数的基本关系，属中档题．