Question

7．已知f（$\frac{2}{x}$+1）=x+1，求函数f（x）的解析式及值域．

Answer 1

分析 利用换元法令t=$\frac{2}{x}$+1，t≠1，得出f（t）=x+1=$\frac{2}{t-1}$+1=$\frac{t+1}{t-1}$，一般用x表示自变量得f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$．利用分离常数法求出函数的值域．

解答 解：f（$\frac{2}{x}$+1）=x+1，
令t=$\frac{2}{x}$+1，t≠1，
∴x=$\frac{2}{t-1}$，
∴f（t）=x+1=$\frac{2}{t-1}$+1=$\frac{t+1}{t-1}$，
∴f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$．
f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$，值域为（-∞，1）∪（1，+∞）．

点评 考查了利用换元法求函数的解析式和分离常数法求函数的值域．属于基础题型，应熟练掌握．