Question

15．在正方体ABCD-A₁ B_lC₁D₁中，AB=2，点A，B，C，D在球O上，球O与BA₁的另一个交点为E，且AE⊥BA₁，则球O的表面积为（　　）

• A． 6π
• B． 8π
• C． 12π
• D． 16π

Answer 1

分析 设与CD₁的另一个交点为F，连结EF，DF，得BCEF是矩形，则三棱柱ABE-DCF是球O的内接直三棱柱，求出球O的半径，即可求出球O表面积．

解答 解：设球O与CD₁的另一个交点为F，连结EF，DF，可得BCEF是矩形，
则三棱柱ABE-DCF是球O的内接直三棱柱，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AE⊥BA₁，
∴AE=BE=$\sqrt{2}$，
∴球O的半径R=$\frac{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2}+{\sqrt{2}}^{2}+{2}^{2}}}{2}$=$\sqrt{2}$，
∴球O表面积为：4πR²=4π•（$\sqrt{2}$）²=8．
故选：B．

点评 本题主要考查球的表面积公式，以及球内接三棱柱的关系，考查空间想象能力以及计算能力．