Question

7．已知a、b、c都是正数，
（1）求证：$\frac{bc}{a}$+$\frac{ca}{b}$+$\frac{ab}{c}$≥a+b+c，
（2）若a+b+c=1，求证：$\frac{1-a}{a}$+$\frac{1-b}{b}$+$\frac{1-c}{c}$≥6．

Answer 1

分析 （1）a、b、c都是正数，运用均值不等式，可得a²b²+b²c²≥2ab²c，a²c²+b²c²≥2ac²b，a²b²+a²c²≥2a²bc，累加即可得证；
（2）由a+b+c=1，可得$\frac{1-a}{a}$+$\frac{1-b}{b}$+$\frac{1-c}{c}$=$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$+$\frac{a+b}{c}$=（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$），运用二元均值不等式即可得证．

解答 证明：（1）a、b、c都是正数，可得
a²b²+b²c²≥2ab²c，
a²c²+b²c²≥2ac²b，
a²b²+a²c²≥2a²bc，
相加可得a²b²+b²c²+c²a²≥ab²c+ac²b+a²bc=abc（b+c+a），
可得$\frac{bc}{a}$+$\frac{ca}{b}$+$\frac{ab}{c}$≥a+b+c（当且仅当a=b=c取得等号）；
（2）a+b+c=1，可得
$\frac{1-a}{a}$+$\frac{1-b}{b}$+$\frac{1-c}{c}$=$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$+$\frac{a+b}{c}$
=（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$）
≥2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$+2$\sqrt{\frac{c}{a}•\frac{a}{c}}$+2$\sqrt{\frac{c}{b}•\frac{b}{c}}$=6．
（当且仅当a=b=c取得等号）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用二元均值不等式，以及不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．