Question

18．设a，b均大于0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1．求证：对于每个n∈N^*，都有（a+b）ⁿ-（aⁿ+bⁿ）≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 运用二元均值不等式可得$\sqrt{ab}$≥2，再由二项式定理，化简整理可得（a+b）ⁿ-（aⁿ+bⁿ）
=$\frac{1}{2}[{（{a^{n-1}}b+a{b^{n-1}}）C_n^1+（{a^{n-2}}{b^2}+{a^2}{b^{n-2}}）C_n^2+…+（a{b^{n-1}}+{a^{n-1}}b）C_n^{n-1}}]$，再由均值不等式即可得证．

解答 证明：由a，b均大于0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，
可得$1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥\frac{2}{{\sqrt{ab}}}$知$\sqrt{ab}≥2$，
由二项式定理，得${（a+b）^n}-（{a^n}+{b^n}）=C_n^1{a^{n-1}}b+C_n^2{a^{n-2}}{b^2}+…+C_n^{n-2}{a^2}{b^{n-2}}+C_n^{n-1}a{b^{n-1}}$
=$\frac{1}{2}[{（{a^{n-1}}b+a{b^{n-1}}）C_n^1+（{a^{n-2}}{b^2}+{a^2}{b^{n-2}}）C_n^2+…+（a{b^{n-1}}+{a^{n-1}}b）C_n^{n-1}}]$$≥\sqrt{{{（ab）}^n}}（{C_n^1+C_n^2+…+C_n^{n-1}}）≥{2^n}（{2^n}-2）={2^{2n}}-{2^{n+1}}$．
则原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用二元均值不等式和二项式定理，以及二项式系数的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．